Что это такое
Транспонирование матрицы — операция, при которой строки матрицы становятся столбцами, а столбцы — строками; матрица как бы «отражается» относительно главной диагонали. Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m×n — матрица AT размеров n×m, определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Пример
Матрица 2×3 превращается в матрицу 3×2: первая строка (1, 2, 3) становится первым столбцом, вторая (4, 5, 6) — вторым.
| A | ||
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| AT | |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
Элементы главной диагонали (a11 = 1, a22 = 5) остаются на месте.
Свойства
- (AT)T = A — двойное транспонирование возвращает исходную матрицу.
- (A + B)T = AT + BT, (k·A)T = k·AT.
- (A·B)T = BT·AT — порядок множителей меняется.
- det AT = det A — у квадратной матрицы определитель не меняется.
- Если AT = A, матрица симметричная (так устроены ковариационные матрицы и матрицы расстояний); если AT = A−1, матрица ортогональная (матрицы поворота).
- Транспонирование превращает вектор-строку в вектор-столбец и обратно.
Где применяется
- Метод наименьших квадратов и регрессия — коэффициенты находят из нормальных уравнений XT·X·β = XT·y. Для точек x = 1, 2, 3 матрица X = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}} даёт XT·X = {{3, 6}, {6, 14}}.
- Статистика — ковариационная и корреляционная матрицы (XT·X для центрированных данных), скалярное произведение векторов как xT·y.
- Машинное обучение — обратное распространение ошибки в нейросетях использует транспонированные матрицы весов.
- 3D-графика — обратная матрица поворота равна транспонированной; нормали преобразуются матрицей (M−1)T.
- Таблицы и данные — поменять местами строки и столбцы отчёта (как «Транспонировать» в Excel), развернуть массив в программе.
- Графы — транспонированная матрица смежности ориентированного графа соответствует графу с развёрнутыми рёбрами.
- Учёба — проверить решение и вычисления с BT·AT, симметричными и ортогональными матрицами.
Как пользоваться
- Задайте размеры матрицы A кнопками добавления и удаления строк и столбцов и заполните ячейки.
- Или введите матрицу строкой
{строки,столбцы,элементы…}, например{2,3,1,2,3,4,5,6}. - Транспонированная матрица B = AT, запись Bi,j = Aj,i для каждого элемента и ссылка на расчёт обновляются сразу.