Что это такое
Сервис интерполяции и экстраполяции онлайн (линейная интерполяция/экстраполяция) поможет вам вычислить значение линейной функции, имея в распоряжении f(x) в двух различных точках, а также рассчитает уравнение прямой. Сервис автоматически определит нужный способ расчёта — вам лишь надо ввести значения в двух произвольных точках и указать точку, в которой нужно рассчитать значение.
Интерполяция (от латинского interpolatio — изменение, переделка) в математике и статистике — это способ вычислить промежуточное значение функции по нескольким уже известным её значениям. Например, имеется функция f(x), известны значения f(x) в точке x0 и точке x2; интерполяция помогает найти значение f(x1) при условии, что x1 принадлежит интервалу от x0 до x2. Если x1 лежит вне интервала (x0, x2), интерполяция не поможет — для этого нужно использовать экстраполяцию.
Экстраполяция — способ вычислить значение функции за пределами известного участка. Если известны значения f(x) в точках x1 и x2, экстраполяция помогает найти f(x0) или f(x3), когда x0 меньше, а x3 больше интервала от x1 до x2. Если точка лежит внутри интервала (x1, x2), нужна интерполяция.
Эти методы часто называют «линейная интерполяция» и «линейная экстраполяция»: они дают 100% верный результат для уравнения прямой.
Как считается
Как для интерполяции, так и для экстраполяции в основе расчёта лежит пропорция
(y1 − y0) / (y2 − y0) = (x1 − x0) / (x2 − x0)
— приращение значения в первой точке относится к приращению значения во второй точке так же, как приращение переменной в первой точке к приращению переменной во второй (всё относительно нулевой точки отсчёта). Из этой пропорции легко получить формулу расчёта любого значения:
y1 = y0 + (x1 − x0) · (y2 − y0) / (x2 − x0)
Дробь (y2 − y0) / (x2 − x0) — наклон прямой k; отсюда уравнение прямой f(x) = k·x + b, где b = y0 − k·x0.
Пример
Известно: f(10) = 100 и f(20) = 300. Найдём f(15) и f(25):
- Наклон k = (300 − 100) / (20 − 10) = 20, b = 100 − 20·10 = −100, уравнение прямой: f(x) = 20x − 100.
- Интерполяция: f(15) = 100 + (15 − 10)·20 = 200 — точка внутри интервала.
- Экстраполяция: f(25) = 100 + (25 − 10)·20 = 400 — точка за пределами интервала.
Ещё один пример: f(1) = 2,5, f(3) = 6,5 ⇒ k = 2, и в точке 4,2 (экстраполяция вверх) f = 2,5 + 3,2·2 = 8,9.
Что важно знать
- Точки x1 и x2 должны быть различными — иначе прямую провести нельзя.
- Для прямой результат точный. Для кривой (квадратичной, экспоненциальной) линейная интерполяция даёт приближение, тем лучше, чем ближе узлы; экстраполяция с удалением от узлов быстро теряет точность.
- Для вычисления результата функций с двумя переменными существует билинейная интерполяция (двойная интерполяция).
- Если известно больше двух точек и зависимость нелинейна, для расчёта интерполяции можно воспользоваться сервисами Интерполяция — полином Ньютона и Интерполяция — полином Лагранжа.
Где применяется
- Справочные таблицы — СНиП, ГОСТ, таблицы теплотехники, плотности, давления пара: значение между строками таблицы.
- Инженерия и метрология — калибровка датчиков по двум точкам, пересчёт сигнала 4–20 мА в физическую величину.
- Финансы и экономика — ставка для промежуточного срока, оценка показателя между двумя отчётными датами, простой прогноз по тренду.
- Графика, анимация, игры — плавный переход цвета или положения (lerp) между двумя ключевыми кадрами.
- Наука и учёба — промежуточные значения в лабораторных работах, проверка решения задач.
Как пользоваться
- Введите две известные точки: x1, f(x1) и x2, f(x2), а в поле xN — точку, в которой нужно значение.
- Нажмите «Рассчитать». Если установить «галку» внутри кнопки «Рассчитать», калькулятор будет рассчитывать значение автоматически при любом изменении входных данных.
- Калькулятор сам определит, что выполняется — интерполяция или экстраполяция вниз/вверх, — и покажет уравнение прямой f(x).
- Можно вводить дроби, числа с запятой, корни, тригонометрию и степени (примеры — в списке под формой). Ссылку на расчёт можно скопировать.