Интерполяция - полином Ньютона (онлайн калькулятор)

Что это такое

Сервис Интерполяционный полином Ньютона (многочлен Ньютона) поможет вам интерполировать или экстраполировать значение функции в произвольной точке, используя таблицу известных значений, автоматически выбрав прямую или обратную формулу интерполяции Ньютона.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x_i+1 − x_i = h = const, то есть xi = x0 + i·h, i = 0, 1, …, n, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона. Через n + 1 точку проходит ровно один многочлен степени не выше n — тот же, что даёт полином Лагранжа, но формула Ньютона удобнее для таблиц с постоянным шагом.

Конечные разности

Формулы строятся на конечных разностях: Δy_i = y_i+1 − y_i (первые), Δ²y_i = Δy_i+1 − Δy_i (вторые) и так далее. Для функции y = x³ в узлах 1, 2, 3, 4:

Третьи разности постоянны — признак многочлена третьей степени.

Формулы Ньютона

Первая (прямая) интерполяционная формула Ньютона, q = (x − x₀) / h:

Pn(x) = y0 + qΔy0 + q(q−1)/2!·Δ2y0 + … + q(q−1)…(q−n+1)/n!·Δny0

Вторая (обратная) интерполяционная формула Ньютона, q = (x − x_n) / h:

Pn(x) = yn + qΔyn−1 + q(q+1)/2!·Δ2yn−2 + … + q(q+1)…(q+n−1)/n!·Δny0

Интерполяционные полиномы Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона): так первые, самые весомые слагаемые берутся из ближайших узлов, и ошибка округления меньше.

Пример

• Прямая формула, x = 1,5: h = 1, q = (1,5 − 1)/1 = 0,5. P = 1 + 0,5·7 + 0,5·(−0,5)/2·12 + 0,5·(−0,5)·(−1,5)/6·6 = 1 + 3,5 − 1,5 + 0,375 = 3,375 = 1,5³.
• Обратная формула, x = 3,5: q = (3,5 − 4)/1 = −0,5. P = 64 + (−0,5)·37 + (−0,5)·0,5/2·18 + (−0,5)·0,5·1,5/6·6 = 64 − 18,5 − 2,25 − 0,375 = 42,875 = 3,5³.

Так как исходная функция — многочлен третьей степени, а узлов четыре, результат точный.

Что важно знать

• Шаг h должен быть постоянным и ненулевым; для неравномерной сетки используйте полином Лагранжа или разделённые разности.
• Добавление нового узла не требует пересчёта всего полинома — дописывается одно слагаемое. В этом главное практическое удобство формы Ньютона.
• При большом числе узлов многочлен высокой степени может сильно колебаться между ними (феномен Рунге); на практике берут 3–6 ближайших узлов.
• За пределами таблицы (экстраполяция) точность быстро падает.
• Также для расчёта интерполяции можно воспользоваться сервисами Линейная интерполяция и экстраполяция, Билинейная интерполяция и полином Лагранжа.

Где применяется

• Таблицы функций и справочники — значения между строками таблиц с постоянным шагом (логарифмы, тригонометрия, свойства веществ по температуре).
• Численные методы — на формулах Ньютона построены численное дифференцирование и интегрирование (формулы Симпсона, Адамса).
• Обработка измерений — показания приборов, снятые через равные промежутки времени: значение в промежуточный момент.
• Астрономия и навигация — интерполяция эфемерид (координат планет и спутников), заданных в таблицах через равные интервалы.
• Экономика — восстановление пропущенных значений во временных рядах с равным шагом (месяцы, кварталы).
• Учёба — проверка решения задач по вычислительной математике.

Как пользоваться

• Введите x₀ и x₁ — по ним определяется шаг h; остальные узлы x₂, x₃, … заполняются автоматически.
• Введите значения f(x_i) в каждом узле. Кнопками «+» и «−» можно добавлять и удалять точки.
• В поле x_N укажите точку, в которой нужно значение, и нажмите «Рассчитать» (или включите авторасчёт галкой в кнопке).
• Калькулятор покажет h, q, результат f(x_N) и какая формула — прямая или обратная — была использована.