Что делает калькулятор
Есть таблица известных значений функции: в точках x1, x2, …, xn функция равна Fx1, Fx2, …, Fxn. Сама формула функции неизвестна. Полином Лагранжа — это единственный многочлен степени не выше n−1, который проходит точно через все эти точки. Калькулятор строит его и считает значение в нужной точке xn.
Как устроена формула
Для каждой точки строится базисный множитель Lxi: он равен 1 в «своей» точке xi и 0 во всех остальных узлах.
Lxi = Πj≠i (x − xj) / (xi − xj)
Ответ — сумма значений, взвешенных этими множителями: L(x) = Σ Fxi · Lxi. Калькулятор показывает все Lxi, чтобы было видно вклад каждой точки. Их сумма всегда равна 1.
Пример
Известно: f(1) = 1, f(2) = 4, f(4) = 16 (это y = x², но калькулятору это знать не нужно). Найдём f(3):
| i | xi | Fxi | Lxi(3) | Fxi · Lxi |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | (3−2)(3−4) / ((1−2)(1−4)) = −1/3 | −1/3 |
| 2 | 2 | 4 | (3−1)(3−4) / ((2−1)(2−4)) = 1 | 4 |
| 3 | 4 | 16 | (3−1)(3−2) / ((4−1)(4−2)) = 1/3 | 16/3 |
Сумма: −1/3 + 4 + 16/3 = 9. Ровно 3² — по трём точкам полином второй степени восстанавливается точно.
Что важно знать
- Узлы могут идти с любым шагом — в отличие от формул Ньютона на этом сайте, которым нужен равномерный шаг. Главное, чтобы xi не повторялись.
- Точность. Если функция — многочлен степени меньше числа точек, результат точный. Для других функций это приближение, и оно лучше всего между узлами.
- Экстраполяция (точка вне диапазона узлов) работает, но ошибка быстро растёт.
- Много точек — не всегда лучше. При 10–20 равномерных узлах полином начинает сильно «раскачиваться» у краёв (эффект Рунге). Для больших таблиц лучше брать 3–5 ближайших точек или сплайны.
- Отличие от Ньютона. Результат тот же многочлен. Формулу Лагранжа проще записать и понять, а форма Ньютона удобнее, когда точки добавляются по одной: не нужно пересчитывать всё заново.
Где применяется
- Таблицы измерений и справочники — значение между точками калибровки датчика, свойства материалов, табличные коэффициенты, когда известно 3–4 точки и зависимость нелинейная.
- Численные методы — на полиноме Лагранжа построены формулы численного интегрирования (Ньютона — Котеса, Симпсона) и численного дифференцирования.
- Компьютерная графика и анимация — плавная кривая через заданные ключевые точки.
- Обработка сигналов — передискретизация и дробная задержка сигнала (Lagrange interpolation filters в аудио).
- Криптография — схема разделения секрета Шамира: секрет восстанавливают интерполяцией Лагранжа по нескольким долям.
- Учёба — проверить домашнее задание по численным методам и увидеть вклад каждой точки.
Как пользоваться
- Введите пары xi и Fxi; кнопкой «+» добавьте строку, «−» — уберите.
- В поле xn укажите точку, где нужно значение, и нажмите «Рассчитать». С галочкой в кнопке расчёт идёт автоматически при каждом изменении.
- Можно вводить дроби (1/3), числа с запятой (0,5) и выражения — как в других калькуляторах раздела.