Билинейная интерполяция (Двойная линейная интерполяция)

Что это такое

Билинейная (двойная линейная) интерполяция находит значение функции двух переменных f(x, y), когда оно известно только в четырёх точках — углах прямоугольника. Это прямое обобщение обычной линейной интерполяции: там значение ищут между двумя точками на прямой, здесь — внутри прямоугольника на плоскости.

Типичная ситуация — таблица с двумя входами: по строкам одна величина (например, температура), по столбцам другая (давление), а нужное значение попадает между строками и столбцами.

Как считается

Известны значения в углах: f(x₀, y₀), f(x₀, y₂), f(x₂, y₀) и f(x₂, y₂). Нужно найти f(x₁, y₁) для точки внутри. Расчёт идёт в три обычные линейные интерполяции:

• по оси x на нижней стороне: f(x₁, y₀) — между f(x₀, y₀) и f(x₂, y₀);
• по оси x на верхней стороне: f(x₁, y₂) — между f(x₀, y₂) и f(x₂, y₂);
• по оси y между двумя найденными значениями — это и есть f(x₁, y₁).

Калькулятор заодно находит значения на левой и правой сторонах — f(x₀, y₁) и f(x₂, y₁): это пригодится, если нужен весь срез таблицы. Общая формула:

f(x1, y1) = f00·(1−t)(1−u) + f20·t(1−u) + f02·(1−t)u + f22·t·u,
где t = (x1 − x0) / (x2 − x0), u = (y1 − y0) / (y2 − y0) — доли пути по каждой оси (от 0 до 1 внутри прямоугольника).

Результат не зависит от того, с какой оси начинать: если сначала идти по y, а потом по x, получится то же число.

Пример

Температура воздуха известна на высоте 0 и 2 км над широтами 40° и 60°. Нужна температура на высоте 0,5 км над широтой 55°:

• Доли пути: t = (0,5 − 0) / (2 − 0) = 0,25, u = (55 − 40) / (60 − 40) = 0,75.
• На широте 40°: 18 + 0,25 · (6 − 18) = 15 °C.
• На широте 60°: 8 + 0,25 · (−4 − 8) = 5 °C.
• Между ними по широте: 15 + 0,75 · (5 − 15) = 7,5 °C.

Именно эти числа показывает демо выше.

Что важно знать

• Нужны четыре угла прямоугольника, стороны которого параллельны осям: x₀ ≠ x₂ и y₀ ≠ y₂. Для произвольно разбросанных точек нужны другие методы (триангуляция, обратные расстояния).
• Это не плоскость. Вдоль каждой оси функция меняется линейно, но в целом поверхность изогнута (гиперболический параболоид). Поэтому по четырём углам она проходит точно.
• Точность хорошая, если функция внутри ячейки меняется плавно. Если таблица крупная, а зависимость сильно нелинейная, лучше брать ближайшую ячейку или более сложную бикубическую интерполяцию.
• Экстраполяция. Если точка вне прямоугольника (t или u вне диапазона 0…1), калькулятор всё равно посчитает, но ошибка быстро растёт с удалением.

Где применяется

• Справочные таблицы с двумя входами — СНиП и ГОСТ, теплотехника, гидравлика, свойства воды и пара: например, плотность или вязкость по температуре и давлению, коэффициент теплопередачи по скорости потока и температуре.
• Погода, карты, ГИС — температура, давление, высота рельефа известны в узлах регулярной сетки (метеомодели, цифровые модели рельефа), а нужна точка между узлами.
• Изображения и видео — при увеличении или повороте картинки цвет нового пикселя считается по четырём соседним; так работает режим «bilinear» в Photoshop, браузерах и видеокартах.
• 3D-графика и игры — фильтрация текстур, высота ландшафта под персонажем по карте высот.
• Инженерные расчёты — характеристики насосов, вентиляторов и двигателей (КПД, мощность по оборотам и нагрузке), аэродинамические таблицы, калибровочные таблицы датчиков с двумя параметрами.
• Финансы — ставка или коэффициент по сетке «срок × сумма», поверхности волатильности опционов (страйк × срок).
• Учёба — проверить решение задачи и увидеть промежуточные значения на всех сторонах прямоугольника.

Как пользоваться

• Заполните первую и третью строку: x₀, y₀, f(x₀, y₀) и x₂, y₂, f(x₂, y₂). Во второй строке — точку x₁, y₁, в которой нужно значение.
• Серые поля x и y ниже заполняются сами — осталось ввести f(x₀, y₂) и f(x₂, y₀).
• Нажмите «Рассчитать». С галочкой в кнопке расчёт идёт автоматически при каждом изменении.
• Можно вводить дроби (1/2), числа с запятой (0,5) и выражения вроде sqrt(2).