Численное интегрирование онлайн(трапеции, Симпсон, прямоугольники)

Посчитайте определённый интеграл функции на отрезке [a; b] пятью численными методами сразу и сравните точность. Можно интегрировать и таблицу измерений — площадь под графиком по точкам.

Что такое численное интегрирование

Определённый интеграл — это площадь под графиком функции на отрезке [a; b]. Первообразная есть не у каждой функции (например, у e^−x² или sin(x)/x её нет в элементарных функциях), а у таблицы измерений формулы нет вовсе. Тогда отрезок делят на n частей шагом h = (b − a) / n и складывают площади простых фигур.

Формулы методов

Прямоугольники (левые, правые, средние): I ≈ h · Σ f(x_i), где высота берётся в левой, правой точке или в середине каждого отрезка. Средние прямоугольники точнее левых и правых: их погрешность пропорциональна h², а не h.
Трапеции: I ≈ h · ( (f₀ + f_n)/2 + f₁ + … + f_n−1 ), погрешность порядка h².
Симпсон (параболы): I ≈ h/3 · ( f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + f_n ), n — чётное. Погрешность порядка h⁴: обычно самый точный из простых методов, а многочлены до третьей степени он интегрирует точно.

Оценка погрешности по правилу Рунге

Интеграл считается дважды — с шагом h и h/2. Тогда погрешность ε ≈ модуль(I_h/2 − I_h) / (2^p − 1), где p — порядок метода (1 для левых и правых прямоугольников, 2 для средних и трапеций, 4 для Симпсона). Если погрешность велика — увеличьте n.

Пример

∫ x²·sin(x) dx от 0 до π. Точное значение π² − 4 ≈ 5,869604. При n = 10 метод трапеций даёт ≈ 5,788 (ошибка 0,08), а Симпсон — ≈ 5,8695 (ошибка около 0,0001): при том же числе точек он точнее почти в тысячу раз.

Интеграл по таблице

Если есть только измерения — расход по часам, мощность по времени, скорость по секундам, — переключитесь на «По таблице точек». Метод трапеций работает с любым шагом, Симпсон — только с равным шагом и нечётным числом точек. Так считают, например, объём воды по графику расхода или энергию по графику мощности.

Частые вопросы

Какой метод численного интегрирования самый точный?

Из представленных — метод Симпсона: его погрешность убывает как h⁴. Трапеции и средние прямоугольники — как h², левые и правые прямоугольники — как h. Для гладких функций Симпсон при том же n обычно точнее на несколько порядков.

Какое n выбрать?

Начните с 10–100 и смотрите на оценку погрешности по Рунге в таблице. Если она больше нужной точности — увеличивайте n. Для учебных задач чаще всего задают n = 10.

Как вычислить интеграл по таблице значений?

Выберите «По таблице точек» и вставьте два столбца x и f(x). Метод трапеций работает с любым шагом; Симпсон — только с одинаковым шагом и чётным числом интервалов.

Как записывать функцию?

Степень — x^2, умножение — * или просто 2x, функции — sin(x), cos(x), exp(x) или e^x, ln(x), sqrt(x). Пределы можно задавать выражениями: pi, pi/2, 1/3.