Что такое метод наименьших квадратов
Точки, полученные в эксперименте, почти никогда не лежат строго на прямой: мешают погрешности измерений. Метод наименьших квадратов (МНК) подбирает прямую y = kx + b, для которой сумма квадратов отклонений точек от прямой минимальна:
S = Σ (yi − k·xi − b)² → min
Если приравнять нулю частные производные S по k и b, получится система нормальных уравнений, а из неё — готовые формулы.
Формулы МНК
k = (n·Σxy − Σx·Σy) / (n·Σx² − (Σx)²)
b = (Σy − k·Σx) / n
Качество подгонки показывают:
- коэффициент корреляции Пирсона r — от −1 до 1; знак совпадает со знаком наклона, а чем ближе модуль к 1, тем сильнее линейная связь;
- коэффициент детерминации R² — доля разброса y, которую объясняет прямая (R² = 0,95 — объяснено 95 %);
- стандартная ошибка S — типичное отклонение точек от прямой в единицах y.
Пример
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 2,1 | 3,9 | 6,2 | 7,8 | 10,1 |
n = 5, Σx = 15, Σy = 30,1, Σxy = 110,2, Σx² = 55.
k = (5·110,2 − 15·30,1) / (5·55 − 15²) = 99,5 / 50 = 1,99; b = (30,1 − 1,99·15) / 5 = 0,05.
Уравнение: y = 1,99x + 0,05, R² ≈ 0,998. Прогноз для x = 6: y ≈ 11,99.
Где применяется
- обработка лабораторных работ по физике и химии: градуировочные графики, определение констант по наклону прямой;
- калибровка датчиков и приборов по нескольким эталонным точкам;
- экономика и аналитика: линейный тренд продаж, затрат, показателей;
- проверка гипотезы о линейной зависимости.
Если точки явно ложатся на кривую, а не на прямую, используйте аппроксимацию: калькулятор сравнит полиномы, экспоненту, степенную и логарифмическую зависимости. Если кривая должна пройти точно через все точки, нужна интерполяция — по таблице или многочленом Лагранжа.