Что это такое
Определитель (детерминант) — число, которое ставится в соответствие квадратной матрице n×n и обозначается det A или |A|. Он показывает, как линейное преобразование, заданное матрицей, меняет площади (в 2D) и объёмы (в 3D), и сразу отвечает на главный вопрос: обратима ли матрица и имеет ли система уравнений единственное решение.
Как считается
- 2×2:
det {{a, b}, {c, d}} = a·d − b·c. - 3×3: разложение по первой строке:
a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)(то же даёт правило Саррюса). - n×n: разложение по строке (через миноры с чередующимися знаками) или приведение к треугольному виду методом Гаусса — тогда определитель равен произведению элементов диагонали.
Пример
| A | ||
|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
- 2·(4·0 − 1·2) = 2·(−2) = −4
- −1·(0·0 − 1·5) = −1·(−5) = +5
- +3·(0·2 − 4·5) = 3·(−20) = −60
- det A = −4 + 5 − 60 = −59
А у матрицы {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} определитель равен 0: третья строка — линейная комбинация первых двух (2·строка2 − строка1), матрица вырожденная.
Свойства
- det A = 0 ⇔ матрица вырожденная: у неё нет обратной, строки (столбцы) линейно зависимы, система A·x = b не имеет единственного решения.
- det(A·B) = det A · det B; det AT = det A; det A−1 = 1 / det A.
- Перестановка двух строк меняет знак; общий множитель строки выносится за знак определителя; прибавление к строке другой строки, умноженной на число, определитель не меняет.
- det(k·A) = kn·det A для матрицы n×n.
- |det A| — во сколько раз преобразование растягивает площадь или объём; знак «минус» означает зеркальное отражение (смену ориентации).
Где применяется
- Системы линейных уравнений, правило Крамера. Для системы 3x + y = 9, 2x + 4y = 16: Δ = 3·4 − 1·2 = 10, Δx = 9·4 − 1·16 = 20, Δy = 3·16 − 9·2 = 30, откуда x = 20/10 = 2, y = 30/10 = 3 (проверка: 3·2 + 3 = 9, 2·2 + 4·3 = 16).
- Проверка обратимости — прежде чем искать обратную матрицу или решать систему, проверяют, что det ≠ 0.
- Геометрия — площадь параллелограмма и треугольника по координатам вершин, объём параллелепипеда (смешанное произведение), проверка, лежат ли три точки на одной прямой (det = 0).
- 3D-графика и физика — отрицательный определитель матрицы преобразования говорит о зеркальном отражении модели; якобиан при замене переменных в интегралах.
- Собственные числа — их находят из уравнения det(A − λE) = 0; это основа анализа устойчивости, колебаний, метода главных компонент.
- Статистика и ML — определитель ковариационной матрицы входит в формулу многомерного нормального распределения.
- Экономика — проверка разрешимости модели Леонтьева: матрица (E − A) должна быть невырожденной.
Как пользоваться
- Задайте размер матрицы кнопками добавления и удаления строк — матрица всегда остаётся квадратной, столбцы подстраиваются сами.
- Заполните ячейки (можно дроби и выражения) или введите матрицу строкой
{n,n,элементы…}, например{3,3,2,1,3,0,4,1,5,2,0}. - Определитель пересчитывается автоматически и показывается в поле det.