Что это такое
Сервис умножения матриц онлайн с подробным решением позволит вам рассчитать произведение матриц нужной вам размерности, а также покажет подробное решение и процесс перемножения матриц — как вычислен каждый элемент результата.
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами. Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведением матриц.
Правило умножения
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. Произведением матрицы Am×n на матрицу Bn×p называется матрица Cm×p такая, что
cik = ai1·b1k + ai2·b2k + … + ain·bnk,
т. е. элемент cik — это сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B («строка на столбец»). У результата столько строк, сколько у A, и столько столбцов, сколько у B.
Пример
Умножим матрицу 2×3 на матрицу 3×2 — получится матрица 2×2:
| A | ||
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| B | |
|---|---|
| 7 | 8 |
| 9 | 10 |
| 11 | 12 |
- c11 = 1·7 + 2·9 + 3·11 = 7 + 18 + 33 = 58
- c12 = 1·8 + 2·10 + 3·12 = 8 + 20 + 36 = 64
- c21 = 4·7 + 5·9 + 6·11 = 28 + 45 + 66 = 139
- c22 = 4·8 + 5·10 + 6·12 = 32 + 50 + 72 = 154
Итог: C = {{58, 64}, {139, 154}}. Тот же пример можно ввести в калькулятор строкой {2,3,1,2,3,4,5,6} для A и {3,2,7,8,9,10,11,12} для B.
Свойства, которые важно знать
- Произведение некоммутативно: в общем случае A·B ≠ B·A, а B·A может вообще не существовать. Например, для A = {{1, 2}, {3, 4}} и B = {{0, 1}, {1, 0}}: A·B = {{2, 1}, {4, 3}} (переставлены столбцы), а B·A = {{3, 4}, {1, 2}} (переставлены строки).
- Ассоциативность: (A·B)·C = A·(B·C) — поэтому цепочку преобразований можно заранее «свернуть» в одну матрицу.
- Дистрибутивность: A·(B + C) = A·B + A·C.
- Единичная матрица E (единицы на диагонали) ничего не меняет: A·E = E·A = A.
- Транспонирование произведения: (A·B)T = BT·AT; определитель: det(A·B) = det A · det B.
- Сложность: для двух матриц n×n нужно n3 умножений — 27 для 3×3 и миллиард для 1000×1000.
Где применяется
- 3D-графика и игры — поворот, масштаб и перенос объекта задаются матрицами 4×4; их произведение даёт одну матрицу всего преобразования. Например, поворот на 90°: {{0, −1}, {1, 0}}·(3, 1) = (−1, 3).
- Системы линейных уравнений записываются как A·x = b; методы решения (Гаусс, обратная матрица) опираются на умножение.
- Нейронные сети и машинное обучение — каждый слой сети — это умножение матрицы весов на вектор входов; видеокарты ускоряют именно эту операцию.
- Экономика — модель «затраты — выпуск» Леонтьева, расчёт стоимости: матрица «изделие × материал» умножается на вектор цен материалов.
- Графы — если A — матрица смежности, то элементы A2 показывают число путей длины 2 между вершинами.
- Марковские цепи и вероятности — переход состояния за k шагов — степень матрицы переходов.
- Обработка изображений и сигналов — цветовые преобразования (RGB → YUV), фильтры, преобразование Фурье.
- Учёба — проверить домашнее задание и увидеть, как получен каждый элемент.
Как пользоваться
- Задайте размеры матрицы A кнопками добавления и удаления строк и столбцов. Число строк B подстраивается само — оно всегда равно числу столбцов A; число столбцов B можно менять.
- Введите элементы в ячейки. Можно вводить дроби (1/2) и выражения.
- Матрицу можно задать и строкой в поле под редактором:
{строки,столбцы,элементы…}, например{2,2,1,2,3,4}. - Результат C и подробное решение для каждого cik появляются автоматически. Ссылку на расчёт можно скопировать и отправить.