Что это такое
Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа, и a не равно нулю. Калькулятор решает квадратное уравнение онлайн через дискриминант, показывает ход решения и строит график параболы y = ax2 + bx + c — корни уравнения это точки, где парабола пересекает ось x.
Как решается
Квадратные уравнения решаются через дискриминант (D):
D = b2 − 4ac
- Если D > 0, уравнение имеет 2 действительных корня. Они находятся по формулам:
x1 = (−b − √D) / 2a,x2 = (−b + √D) / 2a. - Если D = 0, уравнение имеет 1 действительный корень, который находится по формуле:
x = −b / 2a. - Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней (парабола не пересекает ось x; корни есть только среди комплексных чисел).
Примеры
| Уравнение | D | Корни |
|---|---|---|
| x2 − 5x + 6 = 0 | 25 − 24 = 1 | x1 = (5 − 1)/2 = 2, x2 = (5 + 1)/2 = 3 |
| 2x2 + 4x + 2 = 0 | 16 − 16 = 0 | x = −4/4 = −1 |
| x2 + 2x + 5 = 0 | 4 − 20 = −16 | действительных корней нет |
Что важно знать
- Теорема Виета: x1 + x2 = −b/a, x1·x2 = c/a. Для x2 − 5x + 6: 2 + 3 = 5, 2·3 = 6 — удобная проверка.
- Вершина параболы — в точке x = −b/2a; при a > 0 ветви направлены вверх (минимум), при a < 0 — вниз (максимум).
- Неполные уравнения решаются проще: при c = 0 — вынести x за скобки (x(ax + b) = 0), при b = 0 — x2 = −c/a.
- Если a = 0, уравнение не квадратное, а линейное: bx + c = 0, x = −c/b — калькулятор об этом сообщит.
Где применяется
- Физика — движение с ускорением: тело брошено вверх с высоты 20 м со скоростью 15 м/с, h = 20 + 15t − 5t2; из 5t2 − 15t − 20 = 0 (D = 225 + 400 = 625) получаем t = (15 + 25)/10 = 4 с до падения (второй корень −1 не подходит).
- Геометрия — найти стороны прямоугольника по площади и периметру, радиус по площади кольца.
- Экономика — точка безубыточности и максимум прибыли, когда выручка или затраты зависят от объёма квадратично.
- Инженерия — баллистика, расчёт пролётов и арок параболической формы, электрические цепи (мощность на нагрузке).
- Учёба — проверить домашнее задание и увидеть решение по шагам с графиком.
Как пользоваться
- Введите коэффициенты a, b и c в поля уравнения (можно дробные и отрицательные числа).
- Нажмите «Выполнить» — появится дискриминант, число корней и сами корни с подстановкой в формулы.
- Ниже строится график параболы с отмеченными корнями и вершиной.