Система линейных уравнений
Система вида a11x1 + a12x2 + … = b1, … в матричной записи — A·x = b. Она может иметь одно решение, ни одного или бесконечно много. По теореме Кронекера–Капелли система совместна, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A и b), и решение единственно, когда этот ранг равен числу неизвестных.
Метод Гаусса
Расширенная матрица приводится к простому виду элементарными преобразованиями строк: перестановкой, умножением на число и вычитанием одной строки из другой. Калькулятор использует вариант Гаусса–Жордана с выбором главного элемента: в каждом столбце ведущей берётся строка с наибольшим по модулю элементом (это уменьшает ошибки округления), её делят на этот элемент и исключают столбец из остальных строк. В конце в последнем столбце остаётся ответ. Метод универсален: работает для любой системы, в том числе прямоугольной и вырожденной.
Метод Крамера
Для квадратной системы с ненулевым определителем: xi = Δi / Δ, где Δ = det A, а Δi — определитель матрицы, в которой i-й столбец заменён столбцом свободных членов b. Наглядно и удобно для систем 2×2 и 3×3; для больших систем трудоёмко. Определители можно проверить в калькуляторе определителя матрицы.
Метод Зейделя
Итерационный метод: из i-го уравнения выражается xi, и сразу подставляются уже уточнённые значения: xi = (bi − Σj≠i aijxj) / aii. Метод гарантированно сходится при диагональном преобладании (модуль диагонального элемента больше суммы модулей остальных в строке). Применяется для больших разреженных систем: в инженерных расчётах, методе конечных элементов, расчёте электрических цепей.
Пример
2x₁ + x₂ − x₃ = 8, −3x₁ − x₂ + 2x₃ = −11, −2x₁ + x₂ + 2x₃ = −3. Определитель Δ = −1, решение: x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = −1.