Аппроксимация функции онлайн(подбор формулы по точкам)

Вставьте точки — калькулятор построит семь типов зависимостей методом наименьших квадратов, сравнит их по коэффициенту детерминации R² и подскажет, какая формула лучше описывает данные.

Что такое аппроксимация

Аппроксимация — замена набора точек простой формулой, которая проходит близко к ним. В отличие от интерполяции, кривая не обязана проходить через каждую точку: она сглаживает погрешности эксперимента и показывает общий закон. Параметры формулы подбираются методом наименьших квадратов.

Какие зависимости строятся

Зависимость	Формула	Когда подходит
Линейная	y = a + bx	равномерный рост или падение
Квадратичная	y = a + bx + cx²	есть один максимум или минимум, равноускоренное движение
Кубическая	y = a + bx + cx² + dx³	есть перегиб
Экспоненциальная	y = a·e^bx	рост или распад с постоянным темпом: охлаждение, размножение, разряд конденсатора
Степенная	y = a·x^b	физические законы подобия, характеристики «расход — потери»
Логарифмическая	y = a + b·ln x	быстрый рост, который затем замедляется
Гиперболическая	y = a + b/x	обратная пропорциональность с насыщением

Экспоненциальная, степенная и логарифмическая модели сводятся к прямой логарифмированием (линеаризация): например, ln y = ln a + bx. R² в таблице всегда считается по исходным y, поэтому модели можно честно сравнивать между собой.

Как выбрать модель

Смотрите на R²: чем ближе к 1, тем лучше. Но многочлен более высокой степени почти всегда даёт R² чуть больше, поэтому лучшая модель выбирается по скорректированному R², который штрафует за лишние параметры.
Учитывайте физический смысл: распад описывают экспонентой, даже если кубический полином на этом отрезке подходит чуть лучше.
Не экстраполируйте полиномы далеко за пределы данных — за краями они быстро уходят в бесконечность.

Пример

Для точек (1; 3,3), (2; 5,5), (3; 9,1), (4; 15), (5; 24,6), (6; 40,5) калькулятор выберет экспоненту y ≈ 2·e^0,5x с R² ≈ 0,9999: каждое следующее значение примерно в 1,65 раза больше предыдущего — признак экспоненциального роста.

Как пользоваться

Вставьте два столбца x и y (из Excel — через копирование).
В таблице результатов зелёным выделена лучшая модель; нажмите на название любой модели, чтобы увидеть её график.
Введите x в поле прогноза, чтобы посчитать значение по выбранной формуле.

Частые вопросы

Чем аппроксимация отличается от интерполяции?

Интерполяционная кривая проходит точно через все точки. Аппроксимирующая проходит близко к ним, сглаживая ошибки. Для экспериментальных данных обычно нужна аппроксимация, для точных табличных значений — интерполяция.

Почему R² для экспоненты отличается от Excel?

Excel для экспоненциальной и степенной линии тренда считает R² по логарифмам y. Здесь R² считается по исходным y — так модели разных типов можно сравнивать напрямую. Коэффициенты уравнения совпадают с Excel.

Почему экспоненциальная модель недоступна?

Для неё все y должны быть положительными (логарифм отрицательного числа не определён). Для степенной нужны и x > 0, и y > 0, для логарифмической — x > 0, для гиперболической — x ≠ 0.

Какой степени полином выбрать?

Чаще всего хватает второй-третьей. Многочлены высоких степеней «подгоняются» под шум и плохо предсказывают новые значения. Если нужна кривая точно через все точки, используйте интерполяцию Лагранжа или Ньютона.