Прямая и обратная геодезические задачи
Это две базовые операции инженерной геодезии на плоскости в прямоугольной системе координат. Ось X направлена на север, ось Y — на восток (в отличие от математики, где ось x горизонтальна). Направление задают дирекционным углом α — углом, отсчитанным от северного направления оси X по часовой стрелке до линии, от 0° до 360°.
- Прямая задача: известны X₁, Y₁, дирекционный угол α₁₋₂ и горизонтальное проложение d. Найти X₂, Y₂.
- Обратная задача: известны координаты двух точек. Найти α₁₋₂ и d. Так получают исходный дирекционный угол для теодолитного хода, данные для выноса точки в натуру, длину и направление границы участка.
Решение прямой задачи
ΔX = d·cos α, ΔY = d·sin α, X₂ = X₁ + ΔX, Y₂ = Y₁ + ΔY. Знаки приращений получаются сами из косинуса и синуса, но в ручном счёте их удобно проверять по четверти (таблица ниже).
Решение обратной задачи
Сначала приращения: ΔX = X₂ − X₁, ΔY = Y₂ − Y₁. Затем румб — острый угол между линией и осью X: r = arctg (ΔY / ΔX), взятый по абсолютной величине. По знакам ΔX и ΔY определяют четверть и переходят к дирекционному углу:
| ΔX | ΔY | Четверть | Дирекционный угол |
|---|---|---|---|
| + | + | I, СВ | α = r |
| − | + | II, ЮВ | α = 180° − r |
| − | − | III, ЮЗ | α = 180° + r |
| + | − | IV, СЗ | α = 360° − r |
Расстояние d = √(ΔX² + ΔY²); контроль — d = ΔX / cos α = ΔY / sin α. Обратный дирекционный угол отличается на 180°: α₂₋₁ = α₁₋₂ ± 180°.
Типичная ошибка — брать arctg (ΔY / ΔX) со знаком и не определять четверть: калькулятор на телефоне вернёт угол от −90° до 90°, и направление окажется развёрнутым. Поэтому в методичках румб всегда считают по модулям приращений.
Пример
X₁ = 6243,17; Y₁ = 4127,52; X₂ = 6098,44; Y₂ = 4305,91 м.
ΔX = −144,73; ΔY = +178,39. r = arctg (178,39 / 144,73) = 50°56′50″. ΔX < 0, ΔY > 0 — вторая четверть (ЮВ), α = 180° − 50°56′50″ = 129°03′10″. d = √(144,73² + 178,39²) = 229,717 м.
Прямая задача с теми же α и d возвращает точку 2: X₂ = 6243,17 − 144,73 = 6098,44; Y₂ = 4127,52 + 178,39 = 4305,91.
Как пользоваться
- Выберите обратную или прямую задачу, введите координаты (десятичная запятая или точка).
- Угол вводится в градусах-минутах-секундах в любой привычной записи: 129°03′10″, 129 03 10, 129-03-10.
- Ссылка под ответом сохраняет данные задачи.