BL2.ru
Boosty
ENRU

Кинематика точки онлайн: скорость, ускорение и траектория по уравнениям x(t), y (t)

Введите уравнения движения точки x(t), y(t) и момент времени t₁. Калькулятор найдёт уравнение траектории, скорость, полное, касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны, покажет производные по шагам и построит траекторию с векторами v и a.

Пишите как в тетради: 4sin(πt/6), 2t^2 + 3, e^(−2t), sqrt(t). Можно pi вместо π, ^ для степени; умножение можно не ставить. Функции: sin, cos, tg, ctg, arcsin, arctg, ln, exp, sqrt.
Рассчитать

Ещё примеры

  • — парабола: x линейна по t
  • — парабола через cos 2u = 1 − 2sin²u
  • — парабола x(y): y линейна по t

Координатный способ задания движения

Движение точки в плоскости задаётся уравнениями x = x(t), y = y(t). Это типовая задача К1 (сборник Яблонского) и первая тема курса теоретической механики: по уравнениям найти траекторию и все кинематические характеристики в момент t₁.

Порядок решения

  1. Траектория. Исключаем время t. Если одна координата линейна по t — выражаем t и подставляем. Если в уравнениях sin и cos одного аргумента — используем sin²u + cos²u = 1 (получается эллипс или окружность); если cos 2u и sin u — формулу cos 2u = 1 − 2sin²u (парабола).
  2. Скорость. Проекции — первые производные координат: vₓ = ẋ, v_y = ẏ; модуль v = √(vₓ² + v_y²). Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
  3. Ускорение. Проекции — вторые производные: aₓ = ẍ, a_y = ÿ; a = √(aₓ² + a_y²).
  4. Касательное ускорение aτ = dv/dt = (vₓaₓ + v_ya_y)/v — показывает, растёт ли скорость по модулю. Знак aτ: плюс — движение ускоренное, минус — замедленное.
  5. Нормальное ускорение an = √(a² − aτ²) = |vₓa_y − v_yaₓ|/v — направлено к центру кривизны.
  6. Радиус кривизны ρ = v²/an.

Пример

x = 4sin(πt/6), y = −3cos(πt/6) + 4 (см), t₁ = 1 с. Из sin² + cos² = 1 получаем эллипс x²/16 + (y − 4)²/9 = 1. Нажмите «Пример» — калькулятор покажет все шаги и построит эллипс с векторами в точке M.

Проверка: aτ² + an² должно равняться a², а вектор v на графике — касаться траектории.

Частые вопросы

Как найти уравнение траектории точки по x(t) и y(t)?
Исключить время t: выразить t из одного уравнения и подставить в другое, а для тригонометрических — воспользоваться sin²u + cos²u = 1 или cos 2u = 1 − 2sin²u.
Как найти касательное и нормальное ускорения?
aτ = (vₓaₓ + v_ya_y)/v, an = √(a² − aτ²). Проекции скорости и ускорения — первые и вторые производные координат по времени.
Что такое радиус кривизны траектории?
Радиус окружности, которая лучше всего приближает траекторию в данной точке: ρ = v²/an. На прямолинейном участке an = 0 и ρ = ∞.
Как понять, ускоренное движение или замедленное?
По знаку касательного ускорения: aτ > 0 — ускоренное, aτ < 0 — замедленное. Иначе говоря, по знаку скалярного произведения v·a.
Подходит ли калькулятор для задания К1 Яблонского?
Да: введите уравнения своего варианта и t₁. Калькулятор покажет производные и подстановку чисел — сверьте с методичкой и оформите решение сами.