Введите любые три элемента треугольника — три стороны, две стороны и угол, сторону и два угла. Остальные поля оставьте пустыми: калькулятор найдёт стороны, углы, площадь, высоты, медианы, биссектрисы и радиусы окружностей, покажет чертёж в масштабе и решение по шагам.
Как решить треугольник
Треугольник определяется тремя элементами, среди которых есть хотя бы одна сторона. Пять классических случаев:
- SSS — три стороны: углы по теореме косинусов.
- SAS — две стороны и угол между ними: третья сторона по теореме косинусов.
- ASA / AAS — сторона и два угла: третий угол из суммы 180°, стороны по теореме синусов.
- SSA — две стороны и угол напротив одной из них: по теореме синусов, возможны 0, 1 или 2 решения.
Основные формулы
- Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C.
- Теорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
- Площадь: S = ½·ab·sin C; по Герону S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p = (a+b+c)/2.
- Высота h_a = 2S / a; медиана m_a = ½√(2b²+2c²−a²); биссектриса l_a = √(bc((b+c)²−a²)) / (b+c).
- Радиусы: r = S / p, R = abc / (4S).
Когда два решения
Если известны стороны a, b и острый угол A напротив a, то при b·sin A < a < b существуют два треугольника (угол B острый или тупой); при a ≥ b — один; при a = b·sin A — один прямоугольный; при a < b·sin A решений нет.
Частые вопросы
Как найти углы треугольника по трём сторонам?
По теореме косинусов: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Так находят два угла, третий — как 180° минус их сумма. Для сторон 3, 4, 5 получится 36,87°, 53,13° и 90°.
Как найти площадь треугольника по трём сторонам?
По формуле Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр. Если известны две стороны и угол между ними, проще S = ½·a·b·sin C.
Почему две стороны и угол иногда дают два треугольника?
Если угол лежит напротив одной из известных сторон, синус второго угла находится однозначно, а сам угол — двумя способами: острым и тупым (B и 180° − B). Если оба варианта дают сумму углов меньше 180°, существуют два разных треугольника.
Можно ли решить треугольник по трём углам?
Нет. Три угла задают только форму: подобных треугольников бесконечно много. Нужна хотя бы одна сторона.
Как найти радиус вписанной и описанной окружностей?
Радиус вписанной окружности r = S / p, описанной R = abc / (4S). Оба значения калькулятор показывает в таблице, а окружности можно включить на чертеже.