Решение дифференциальных уравнений онлайн: 1-го порядка, линейные 2-го порядка, задача Коши

Введите уравнение — калькулятор определит тип, распишет решение по шагам с интегралами и найдёт общее решение и решение задачи Коши. Есть уравнения 1-го порядка (разделяющиеся, линейные, Бернулли, однородные), линейные 2-го порядка с постоянными коэффициентами и численные методы.

Примеры по типам

— с разделяющимися переменными
— линейное
— Бернулли
— однородное
— с разделяющимися переменными, ответ в неявном виде

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Уравнение a·y'' + b·y' + c·y = f(x) решают в два этапа: общее решение однородного уравнения y₀₀ плюс любое частное решение неоднородного y*.

Однородное уравнение

Подстановка y = e^(rx) даёт характеристическое уравнение a·r² + b·r + c = 0. По его корням:

r₁ ≠ r₂ действительные — y₀₀ = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x);
r₁ = r₂ = r — y₀₀ = (C₁ + C₂x)·e^(rx);
r = α ± iβ — y₀₀ = e^(αx)·(C₁cos βx + C₂sin βx).

Подбор частного решения

Если f(x) = e^(αx)·(Pₙ(x)cos βx + Qₘ(x)sin βx), частное решение ищут в том же виде с многочленами неизвестных коэффициентов степени max(n, m). Если α + iβ — корень характеристического уравнения кратности s, форму умножают на xˢ (резонанс). Неизвестные коэффициенты находят, подставив y* в уравнение и приравняв коэффициенты при подобных членах. Для суммы правых частей частные решения складывают.

Задача Коши

Начальные условия y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y₁ подставляют в общее решение и его производную — получается система для C₁ и C₂.

Численные методы

Когда аналитического решения нет, задачу Коши y' = f(x, y) решают по шагам. Метод Эйлера (1-й порядок точности) прост, но грубый; усовершенствованный Эйлер — 2-й порядок; метод Рунге–Кутта 4-го порядка даёт высокую точность уже при шаге 0,1. Сравните результаты методов — уменьшите шаг вдвое и посмотрите, как меняется ответ.

Частые вопросы

Как решить линейное неоднородное уравнение второго порядка?

Найти общее решение однородного по корням характеристического уравнения, подобрать частное решение по виду правой части и сложить: y = y₀₀ + y*.

Что такое резонанс при подборе частного решения?

Случай, когда число α + iβ из правой части совпадает с корнем характеристического уравнения. Тогда форму частного решения умножают на xˢ, где s — кратность корня.

Какие правые части поддерживаются?

Специального вида: многочлены, экспоненты e^(ax), sin(bx), cos(bx), их произведения и суммы. Для 1/x, tg x и подобных нужен метод вариации постоянных — используйте численное решение.

Чем метод Рунге–Кутта лучше метода Эйлера?

Погрешность Эйлера пропорциональна h, Рунге–Кутта 4 — h⁴. При том же шаге RK4 обычно точнее на несколько порядков.

Какие уравнения 1-го порядка решаются аналитически?

С разделяющимися переменными, линейные y' + p(x)y = q(x), Бернулли и однородные y' = φ(y/x). Калькулятор сам определяет тип, показывает интегралы и проверяет найденные первообразные дифференцированием.