Центр тяжести фигуры и составного сечения онлайн: координаты, статические моменты, моменты инерции

Соберите фигуру из простых частей: прямоугольник, треугольник, круг, полукруг, четверть круга или многоугольник по координатам. Отверстия и вырезы отметьте галочкой. Калькулятор найдёт площадь, статические моменты и координаты центра тяжести, покажет формулы, а также центральные моменты инерции Ix, Iy, Ixy по теореме Штейнера и построит чертёж.

Ещё примеры

Как найти центр тяжести плоской фигуры

Сложную фигуру разбивают на простые части, для которых положение центра тяжести известно, а затем используют формулы для составных тел. Для частей берут площади Aᵢ и координаты центров xᵢ, yᵢ в общей системе координат:

xC = ΣAᵢ·xᵢ / ΣAᵢ = Sy / A, yC = ΣAᵢ·yᵢ / ΣAᵢ = Sx / A.

Здесь Sx = ΣAᵢyᵢ и Sy = ΣAᵢxᵢ — статические моменты площади относительно осей x и y.

Метод отрицательных площадей

Отверстие или вырез считают частью с отрицательной площадью: его Aᵢ входит в суммы со знаком «минус», а центр тяжести — это центр тяжести вырезанной фигуры. Так пластина с круглым отверстием получает центр, смещённый от отверстия.

Центры тяжести простых фигур

Прямоугольник — в точке пересечения диагоналей, A = b·h.
Треугольник — в точке пересечения медиан, на трети высоты от основания; координаты — среднее арифметическое вершин.
Круг — в центре, A = πr².
Полукруг — на оси симметрии на расстоянии 4r/(3π) ≈ 0,424r от диаметра, A = πr²/2.
Четверть круга — на расстоянии 4r/(3π) от обеих прямых, ограничивающих сектор, A = πr²/4.
Многоугольник — по формулам Гаусса через координаты вершин: A = ½Σ(xₖyₖ₊₁ − xₖ₊₁yₖ), xC = Σ(xₖ + xₖ₊₁)(xₖyₖ₊₁ − xₖ₊₁yₖ)/(6A), аналогично yC.

Моменты инерции по Штейнеру

Моменты инерции частей относительно собственных центральных осей известны: прямоугольник Ix = bh³/12, круг Ix = πr⁴/4, полукруг относительно оси, параллельной диаметру, (π/8 − 8/(9π))r⁴ ≈ 0,1098r⁴, прямоугольный треугольник bh³/36. Для составной фигуры их переносят на центральные оси всей фигуры: Ix = Σ±(Ix,i + Aᵢbᵢ²), Iy = Σ±(Iy,i + Aᵢaᵢ²), Ixy = Σ±(Ixy,i + Aᵢaᵢbᵢ), где aᵢ = xᵢ − xC, bᵢ = yᵢ − yC; для вырезов знак «минус». Главные моменты инерции I₁,₂ = (Ix + Iy)/2 ± √(((Ix − Iy)/2)² + Ixy²). Это то же, что нужно в сопротивлении материалов при расчёте сечений на изгиб.

Пример

Тавр: полка 12×4 и стенка 4×16 (см), оси проведены по нижнему краю и левому краю полки. Нажмите «Пример» — калькулятор покажет таблицу площадей, координаты центра тяжести (xC = 6, yC ≈ 12,29 см), моменты инерции и чертёж. Проверьте себя: для симметричной фигуры центр тяжести лежит на оси симметрии, а Ixy = 0.

Частые вопросы

Как найти центр тяжести составной фигуры?

Разбить фигуру на простые части, найти площадь и центр тяжести каждой в общей системе координат и взять взвешенное среднее: xC = ΣAᵢxᵢ / ΣAᵢ, yC = ΣAᵢyᵢ / ΣAᵢ.

Как учесть отверстие или вырез?

Метод отрицательных площадей: вырезанную фигуру считают как обычную часть, но её площадь берут со знаком «минус». В калькуляторе достаточно поставить галочку «Вырез».

Где центр тяжести полукруга и четверти круга?

Полукруг: на оси симметрии на расстоянии 4r/(3π) ≈ 0,424r от диаметра. Четверть круга: на расстоянии 4r/(3π) от каждой из двух прямолинейных границ.

Что такое статический момент площади?

Сумма произведений площадей на расстояния до оси: Sx = ΣAᵢyᵢ, Sy = ΣAᵢxᵢ. Относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, он равен нулю — это и есть признак центра тяжести.

Подходит ли калькулятор для сопромата?

Да: помимо координат центра тяжести он считает Ix, Iy, Ixy относительно центральных осей по теореме Штейнера и главные моменты инерции I₁, I₂ с углом α — это исходные данные для расчёта на изгиб.