BL2.ru
Boosty
ENRU

Дискретная случайная величина: ряд распределения, M(X), D(X), F(x) онлайн

Введите значения xᵢ и вероятности pᵢ — калькулятор найдёт математическое ожидание, дисперсию (двумя способами), среднее квадратическое отклонение, моду и медиану, запишет функцию распределения F(x) по интервалам, построит многоугольник распределения и ступенчатый график F(x). Одну неизвестную вероятность можно оставить пустой — она найдётся из условия Σp = 1.

Ряд распределения
ixipi
1
2
3
4
Вероятности — десятичные (0,25), дробью (1/4) или в процентах (25%). Столбцы можно вставить из Excel. Пустая pᵢ при заполненном xᵢ — неизвестная вероятность.
Ряд по параметрам
X — число успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p: P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ, k = 0…n (n до 100).
Рассчитать

Что такое ряд распределения

Дискретная случайная величина X принимает отдельные значения x₁, x₂, …, xₙ с вероятностями p₁, p₂, …, pₙ. Таблица из двух строк (значения и вероятности) называется рядом распределения. Все вероятности неотрицательны, а их сумма равна единице: Σpᵢ = 1. Это условие используют, чтобы найти одну неизвестную вероятность: pₖ = 1 − Σ(остальных).

Основные характеристики

  • Математическое ожидание M(X) = Σxᵢ·pᵢ — среднее значение величины при большом числе испытаний.
  • Дисперсия D(X) = Σ(xᵢ − M)²·pᵢ — разброс значений около среднего. Удобная формула для расчёта: D(X) = M(X²) − (M(X))², где M(X²) = Σxᵢ²·pᵢ. Калькулятор считает обоими способами, результаты совпадают.
  • Среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X) — разброс в единицах самой величины.
  • Мода Mo(X) — значение с наибольшей вероятностью (мод может быть несколько).
  • Медиана Me(X) — значение, левее и правее которого вероятности примерно по 0,5: первое xᵢ, где F(x) достигает 0,5 справа.

Функция распределения

В российских учебниках F(x) = P(X < x). Для ДСВ это ступенчатая функция: равна 0 при x ≤ x₁, затем в каждой точке xᵢ делает скачок на pᵢ и равна 1 при x > xₙ. На графике закрашенная точка показывает значение функции в самом xᵢ (слева от скачка), пустая — уровень сразу после скачка. Вероятность попадания в промежуток: P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a).

Типовые законы

Биномиальный: число успехов в n независимых испытаниях, M = np, D = npq. Пуассона: редкие события, M = D = λ. Геометрический: номер первого успеха, M = 1/p, D = q/p². Кнопки «Ряд по параметрам» строят такой ряд в таблице — его можно сразу править.

Пример

X принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями 0,1; 0,3; p₃; 0,2. Из Σp = 1 получаем p₃ = 1 − 0,6 = 0,4. M(X) = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,4 + 3·0,2 = 1,7. M(X²) = 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7, D(X) = 3,7 − 1,7² = 0,81, σ = 0,9. Мода — 2, медиана — 2. P(1 ≤ X < 3) = 0,3 + 0,4 = 0,7.

Частые вопросы

Как найти неизвестную вероятность в ряду распределения?
Сумма всех вероятностей равна 1. Оставьте пустой клетку неизвестной pᵢ — калькулятор вычтет из единицы сумму остальных. Если известных вероятностей уже больше 1 или пустых клеток две, он объяснит, что не так.
Как посчитать математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины?
M(X) = Σxᵢ·pᵢ. Дисперсию считают по определению D(X) = Σ(xᵢ − M)²·pᵢ или по формуле D(X) = M(X²) − (M(X))². Калькулятор показывает оба способа с подстановкой чисел и таблицей слагаемых.
Почему в моей задаче F(x) отличается от ответа в задачнике?
В российских учебниках F(x) = P(X < x), поэтому в точке xᵢ значение функции — уровень до скачка. В части зарубежных (и в некоторых российских) пособий берут F(x) = P(X ≤ x), и тогда в точках скачка значение равно верхнему уровню. Интервалы ответа при этом те же, различаются только знаки неравенств на границах.
Чем отличаются мода и медиана?
Мода — самое вероятное значение, медиана — середина ряда по накопленной вероятности. Для ряда 1, 2, 3 с вероятностями 0,2; 0,5; 0,3 и мода, и медиана равны 2, но в несимметричных рядах они расходятся.
Как задать биномиальное распределение или распределение Пуассона?
Выберите закон в блоке «Ряд по параметрам», введите n и p (или λ) и нажмите «Заполнить таблицу». Ряд появится в таблице, после чего его можно править и считать все характеристики и графики.