Формула полной вероятности
Пусть гипотезы H1, H2, …, Hn несовместны и вместе составляют полную группу (одна из них обязательно происходит), то есть P(H1) + … + P(Hn) = 1. Тогда вероятность события A, которое может наступить только вместе с одной из гипотез, равна
P(A) = P(H1)·P(A∣H1) + P(H2)·P(A∣H2) + … + P(Hn)·P(A∣Hn).
Смысл: идём по всем веткам дерева, которые заканчиваются событием A, перемножаем вероятности на каждой ветви и складываем результаты.
Формула Байеса
Если событие A уже произошло, вероятность того, что причиной была гипотеза Hi, равна
P(Hi∣A) = P(Hi)·P(A∣Hi) / P(A).
P(Hi) называют априорной вероятностью (до опыта), P(Hi∣A) — апостериорной (после того, как стало известно о событии A). Знаменатель — это полная вероятность из первой формулы, поэтому сумма всех P(Hi∣A) равна 1.
Как решать задачу
- Выпишите гипотезы: «деталь с первого завода», «пациент болен». Проверьте, что они несовместны и их вероятности дают в сумме 1.
- Определите событие A: «деталь бракованная», «тест положительный».
- Запишите P(A∣Hi) для каждой гипотезы: доля брака на заводе, чувствительность теста.
- Если вопрос «какова вероятность события», считайте по формуле полной вероятности. Если «какова вероятность, что это была гипотеза Hi, если событие произошло» — по формуле Байеса.
Пример: три завода и брак
Первый завод выпускает 50 % деталей, второй — 30 %, третий — 20 %. Доли брака: 1 %, 2 % и 5 %. Берём случайную деталь. Вероятность брака: 0,5·0,01 + 0,3·0,02 + 0,2·0,05 = 0,005 + 0,006 + 0,01 = 0,021, то есть 2,1 %. Если деталь оказалась бракованной, то она с вероятностью 0,01/0,021 ≈ 47,6 % с третьего завода, хотя тот выпускает лишь пятую часть продукции: он даёт больше всего брака.
Парадокс ложноположительных результатов
Болезнью страдает 1 % людей. Тест выявляет болезнь у 99 % больных (чувствительность) и правильно даёт отрицательный результат у 95 % здоровых (специфичность). У человека положительный тест. Какова вероятность, что он болен? Интуиция подсказывает около 95 %, но по формуле Байеса получается всего около 16,7 %.
Посчитайте на 10 000 человек. Больных 100, тест найдёт 99 из них. Здоровых 9900, и у 5 % из них тест ошибочно положителен — это 495 человек. Итого положительных результатов 99 + 495 = 594, а действительно больны из них 99, то есть 99/594 ≈ 16,7 %. Здоровых так много, что даже малая доля ложных срабатываний даёт больше положительных результатов, чем настоящие больные. Поэтому для редких болезней один положительный скрининг — повод перепроверить, а не диагноз. Если у человека есть симптомы или он из группы риска, априорная вероятность выше, и тот же тест убеждает гораздо сильнее.
Что показывает калькулятор
- Проверку, что сумма вероятностей гипотез равна 1, и кнопку «Дополнить до 1» для последней гипотезы.
- P(A) и все P(Hi∣A) с пошаговым решением и таблицей.
- Дерево вероятностей: на ветвях подписаны P(Hi), P(A∣Hi) и 1 − P(A∣Hi).
- Ссылку на расчёт: данные хранятся в адресе, ей удобно поделиться.