Исследование функции и построение графика онлайн: ОДЗ, асимптоты, экстремумы, перегибы
Введите функцию — калькулятор проведёт полное исследование по схеме из учебника: область определения, чётность, периодичность, нули и знаки, асимптоты, производная и экстремумы, вторая производная и перегибы, таблица знаков и итоговый график.
Типовые задания «исследовать и построить график»
— кубическая парабола: max, min и перегиб
— вертикальная и наклонная асимптоты
— две вертикальные асимптоты, перегиб в нуле
— асимптота только с одной стороны
— логарифм: ОДЗ x > 0
— кривая Гаусса: два перегиба
— периодическая функция
Схема исследования функции
Область определения: знаменатель ≠ 0, под корнем чётной степени ≥ 0, под логарифмом > 0, у tg и ctg — выколотые точки.
Чётность: если f(−x) = f(x) — чётная (симметрия относительно Oy), если f(−x) = −f(x) — нечётная (симметрия относительно начала координат). При несимметричной области — общего вида.
Периодичность: sin и cos имеют период 2π, tg и ctg — π; sin(kx) — 2π/k.
Нули и знаки: решают f(x) = 0 и отмечают интервалы, где f > 0 и f < 0.
Асимптоты: вертикальная x = a — если хотя бы один односторонний предел в точке a бесконечен; наклонная y = kx + b — если конечны k = lim f(x)/x и b = lim (f(x) − kx) при x → ±∞; при k = 0 асимптота горизонтальная.
Первая производная: критические точки (f′ = 0 или не существует), промежутки возрастания (f′ > 0) и убывания (f′ < 0). Смена знака с + на − — максимум, с − на + — минимум.
Вторая производная: где f″ > 0, график выпуклый вниз (вогнутый), где f″ < 0 — выпуклый вверх. Точка, где f″ меняет знак, — точка перегиба.
Таблица сводит знаки f′ и f″ по интервалам, по ней и строят график.
Точные и приближённые значения
Производные калькулятор находит символьно. Уравнения f = 0, f′ = 0, f″ = 0 у многочленов и дробно-рациональных функций решаются через корни числителя: рациональные корни — точно, остаток второй степени — через дискриминант (√3, 1 ± √2). Остальные уравнения решаются численно; если корень узнаётся (π/4, e, 1/e), он записывается точно, иначе — со знаком ≈.
Частые вопросы
Как найти наклонную асимптоту?
Вычислить k = lim f(x)/x и b = lim (f(x) − kx) при x → +∞ и отдельно при x → −∞. Если оба предела конечны, асимптота y = kx + b. Если k = 0, асимптота горизонтальная y = b.
Чем отличается точка экстремума от критической точки?
Критическая точка — где f′ = 0 или f′ не существует. Экстремум в ней есть, только если производная меняет знак: у x³ в нуле f′ = 0, но знак не меняется — экстремума нет.
Что такое выпуклость и точка перегиба?
Если f″ > 0, график выпуклый вниз (лежит над касательными), если f″ < 0 — выпуклый вверх. Точка перегиба — где f″ меняет знак, а функция определена.
Почему некоторые значения со знаком ≈?
Уравнения вида x·eˣ = 1 или cos x = x не решаются в радикалах — корни найдены численно с точностью около 10⁻¹². Простые числа (дроби, √n, кратные π, степени e) калькулятор узнаёт и пишет точно.
Как исследуется периодическая функция?
Находят период (sin, cos — 2π, tg — π) и исследуют функцию на одном периоде; нули, экстремумы и перегибы повторяются со сдвигом на период. Асимптот на бесконечности у периодической функции нет.