Как найти реакции связей плоской конструкции
Задачи С1–С3 решают по одной схеме. Выбирают тело, равновесие которого рассматривают, — раму или её часть. Мысленно отбрасывают связи и заменяют их реакциями: заделка даёт силу с двумя составляющими X, Y и момент, неподвижный шарнир — X и Y, каток и невесомый стержень — одну силу вдоль известной линии. Затем составляют три уравнения равновесия плоской системы сил: ΣX = 0, ΣY = 0 и ΣM относительно выбранной точки равна нулю.
Центр моментов выбирают там, где пересекаются линии действия двух неизвестных: тогда они не входят в уравнение моментов, и одна неизвестная находится сразу. Момент силы относительно точки считают как M = x·Fy − y·Fx, где x, y — координаты точки приложения силы от центра моментов; против часовой стрелки момент положителен. Пара сил входит в уравнение моментов целиком и не входит в проекции.
Распределённая нагрузка
Равномерную нагрузку заменяют одной силой R = q·ℓ в середине участка, треугольную — силой R = q·ℓ/2 на расстоянии одной трети длины от стороны с большей интенсивностью. Если q задана на единицу длины проекции на горизонталь (снеговая нагрузка), то R = q·ℓ·cos θ, где θ — угол стержня к горизонтали; для нагрузки, перпендикулярной стержню, равнодействующая направлена по нормали.
Пример: Г-образная рама
Стойка AB высотой 3 м жёстко заделана в точке A, ригель BC длиной 4 м. В узле C сила 10 кН вниз, в узле B сила 5 кН вправо, на ригеле вертикальная нагрузка 2 кН/м по проекции, в узле B пара сил 6 кН·м против часовой стрелки. Равнодействующая нагрузки R = 2·4 = 8 кН приложена посередине ригеля, на расстоянии 2 м от стойки.
ΣX = 0: X_A + 5 = 0, откуда X_A = −5 кН. ΣY = 0: Y_A − 10 − 8 = 0, откуда Y_A = 18 кН. ΣM_A = 0: M_A − 4·10 − 3·5 − 2·8 + 6 = 0, откуда M_A = 65 кН·м. Проверка по моментам относительно точки C: ΣM_C = M_A − 4·Y_A + 3·X_A + 2·8 + 6 = 65 − 72 − 15 + 16 + 6 = 0.
Составная конструкция (задача С2)
Если две части соединены внутренним шарниром, неизвестных становится шесть: реакции опор и две составляющие усилия в шарнире. Уравнения составляют для каждой части отдельно (удобно брать моменты относительно шарнира: усилие в нём тогда не входит в уравнение моментов), а ответ проверяют уравнением моментов для всей конструкции. Усилия в шарнире на двух частях равны по модулю и противоположны по направлению.
Когда решения нет
Для одного тела нужно ровно три неизвестные реакции, и линии их действия не должны быть все параллельны или пересекаться в одной точке. Больше неизвестных — задача статически неопределима и решается уже с учётом деформаций (сопромат), меньше — конструкция является механизмом.