Пределы онлайн с подробным решением: замечательные пределы, Лопиталь, неопределённости
Введите функцию и точку — калькулятор найдёт предел и распишет решение по шагам, как в методичке: подстановка, разложение на множители, деление на старшую степень, сопряжённое выражение, эквивалентные бесконечно малые и замечательные пределы, правило Лопиталя. Есть односторонние пределы и x → ∞. Численная проверка — всегда.
Типовые пределы
— первый замечательный предел
— неопределённость 0/0: сокращение на (x − 1)
— ∞/∞: деление на старшую степень
— второй замечательный предел, неопределённость 1^∞
— эквивалентность 1 − cos x ~ x²/2
— умножение на сопряжённое
— ∞ − ∞ с корнем
— 0·∞ и правило Лопиталя
— эквивалентности eᵘ − 1 ~ u и sin u ~ u
— односторонние пределы различны
— предела нет: колебания
Как вычисляют пределы
Сначала пробуют просто подставить точку: если получилось число, то для непрерывной функции это и есть предел. Если знаменатель стремится к нулю, а числитель — к числу, дробь стремится к бесконечности, знак зависит от стороны подхода. Если же получилось 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰ или ∞⁰ — это неопределённость, её нужно раскрыть преобразованием.
Приёмы раскрытия неопределённостей
0/0 у многочленов — числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают на (x − a).
∞/∞ при x → ∞ — делят на старшую степень x; ответ определяют старшие члены.
Корни — умножают на сопряжённое выражение, чтобы получить разность квадратов.
Эквивалентные бесконечно малые (при u → 0): sin u ~ u, tg u ~ u, arcsin u ~ u, arctg u ~ u, ln(1 + u) ~ u, eᵘ − 1 ~ u, aᵘ − 1 ~ u·ln a, 1 − cos u ~ u²/2, (1 + u)ᵏ − 1 ~ k·u. Заменять можно только множители, а не слагаемые.
Первый замечательный предел: sin x / x → 1 при x → 0.
Второй замечательный предел: (1 + 1/x)ˣ → e при x → ∞; в общем виде при 1^∞ lim u^v = e^(lim v·(u − 1)).
Правило Лопиталя: при 0/0 и ∞/∞ предел отношения функций равен пределу отношения производных, если последний существует. 0·∞ сначала записывают дробью, 0⁰ и ∞⁰ — через u^v = e^(v·ln u).
Когда предела нет
Предел в точке существует, только если совпадают пределы слева и справа: у 1/x при x → 0 они равны −∞ и +∞, у e^(1/x) — 0 и +∞. Функция sin(1/x) около нуля колеблется между −1 и 1 и ни к чему не стремится.
Почему есть численная проверка
Калькулятор всегда считает таблицу значений f(x) при приближении к точке. Если аналитический приём не найден, ответ даётся численно и помечается знаком ≈ — без выдуманных шагов. Таблица же помогает проверить решение из тетради.
Частые вопросы
Что такое неопределённость в пределе?
Это случай, когда правила арифметики пределов не дают ответа: 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Ответ может быть любым, поэтому выражение сначала преобразуют: сокращают, делят на старшую степень, применяют эквивалентности или правило Лопиталя.
Чему равны замечательные пределы?
Первый: sin x / x → 1 при x → 0. Второй: (1 + 1/x)ˣ → e при x → ∞, или (1 + x)^(1/x) → e при x → 0. Из них следуют таблица эквивалентностей и формула lim u^v = e^(lim v·(u − 1)) для неопределённости 1^∞.
Когда можно применять правило Лопиталя?
Только при неопределённости 0/0 или ∞/∞ и если существует предел отношения производных. Другие виды (0·∞, ∞ − ∞, 1^∞) сначала приводят к дроби. Если после дифференцирования предел не существует (например, (x + sin x)/x), правило ничего не говорит — нужен другой приём.
Как ввести односторонний предел и предел на бесконечности?
В поле «x →» напишите 0+0 (справа) или 2−0 (слева), либо выберите сторону переключателем. Для бесконечности — ∞, inf, +∞ или −∞. При x → ∞ без знака считаются оба направления.
Почему ответ помечен «≈»?
Значит, ни один аналитический приём не подошёл, и ответ найден по таблице значений. Это честная оценка, а не точное значение; для контрольной нужен ручной вывод — шаги, которых калькулятор не нашёл, он не придумывает.