Задачи по теории вероятностей ОГЭ и ЕГЭ: монеты, кубики, события, дерево — решение онлайн

Выберите тип задачи, введите данные или возьмите готовую формулировку — получите вероятность дробью и десятичной дробью (как требует экзамен) и подробное решение по шагам.

Все исходы бросков монеты равновозможны, поэтому вероятность — это доля благоприятных исходов среди 2 в степени n. Для небольших n показываем все исходы.

Типовые формулировки

Число бросков nЧисло орлов k

Рассчитать

Как решать задачи по вероятности в школе

Почти все задачи ОГЭ и ЕГЭ сводятся к классической формуле P = m / n: m — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных исходов. Главное — правильно посчитать m и n и убедиться, что исходы действительно равновозможны.

Монеты и игральные кости

При n бросках монеты всего 2ⁿ исходов, а исходов ровно с k орлами — C(n; k). Две игральные кости дают 36 исходов, три — 216. Для суммы очков удобно составить таблицу: например, сумма 8 при двух костях получается пятью способами (2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2), поэтому вероятность равна 5/36.

Независимые события и «хотя бы один»

Если события независимы, вероятность того, что произойдут оба, равна произведению: P(A и B) = P(A)·P(B). Вероятность «хотя бы одно» проще всего искать через противоположное событие: P = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)·… Для несовместных событий (не могут случиться вместе) вероятности просто складываются.

Серия выстрелов и дерево

Если стрелок попадает с вероятностью p, то промах имеет вероятность q = 1 − p, а вероятность заданной серии равна произведению вероятностей каждого выстрела. Когда вариантов много, рисуют дерево: вероятность пути — произведение чисел на ветвях, а вероятность события — сумма вероятностей подходящих путей.

Как записывать и округлять ответ

В ОГЭ и базовом ЕГЭ ответ — десятичная дробь или целое число. Если дробь конечная (3/8 = 0,375), записывайте её точно. Если бесконечная (5/36 = 0,1388…), округляйте так, как просит условие, чаще всего до сотых: 0,14. Вероятность всегда лежит от 0 до 1: если получилось больше 1 или отрицательное число, ищите ошибку.

Частые вопросы

Как решать задачу про «хотя бы один»?

Найдите вероятность противоположного события «не произошло ни одного» (перемножьте вероятности отсутствия каждого события) и вычтите её из единицы: P = 1 − q1·q2·…. Для двух выстрелов с вероятностями 0,8 и 0,9 получится 1 − 0,2·0,1 = 0,98.

Когда вероятности перемножают, а когда складывают?

Перемножают для независимых событий, которые происходят вместе («и»): сначала это, затем то. Складывают для несовместных вариантов, из которых нужен любой («или»): либо одно, либо другое, но не оба сразу.

До какого знака округлять ответ в задаче по вероятности?

Следуйте условию. Если сказано «округлите до сотых», пишите два знака после запятой. Если дробь конечная и в условии нет просьбы округлять, пишите её точно. Калькулятор показывает и точное значение, и округление до сотых и тысячных.

Почему при двух костях 36 исходов, а не 21?

Кости различимы (первая и вторая), поэтому пары 1–2 и 2–1 — разные равновозможные исходы. Сумма 7 получается шестью способами из 36, а не одним из 21 неупорядоченных пар, и вероятность равна 1/6.

Как найти вероятность ровно k попаданий из n выстрелов?

Выберите места попаданий: C(n; k) способов. Каждый способ имеет вероятность p^k·(1 − p)^(n − k), поэтому P = C(n; k)·p^k·(1 − p)^(n − k). Это формула Бернулли; для нескольких этапов с разными вероятностями используйте дерево исходов.