Что такое момент инерции
Момент инерции I — мера инертности тела при вращении вокруг оси: сумма I = Σ mᵢ·rᵢ² по всем частицам, где rᵢ — расстояние до оси. Он играет в динамике вращения роль массы: M = I·ε, момент импульса L = I·ω, энергия вращения E = I·ω² / 2. Единица — кг·м². Радиус инерции k = √(I / m) показывает, на каком расстоянии от оси надо поместить всю массу точкой.
Моменты инерции однородных тел (относительно центральных осей)
| Тело и ось | I_c |
|---|---|
| Тонкий стержень, ось через центр ⟂ стержню | m·l² / 12 |
| Диск, ось симметрии | m·R² / 2 |
| Диск, ось по диаметру | m·R² / 4 |
| Тонкое кольцо (обруч), ось симметрии | m·R² |
| Кольцо, ось по диаметру | m·R² / 2 |
| Полый цилиндр, ось симметрии | m·(R₁² + R₂²) / 2 |
| Сплошной цилиндр, ось симметрии | m·R² / 2 |
| Цилиндр, ось через центр ⟂ оси | m·(3R² + L²) / 12 |
| Сплошной шар | 2·m·R² / 5 |
| Тонкая сфера | 2·m·R² / 3 |
| Прямоугольная пластина, ось ⟂ через центр | m·(a² + b²) / 12 |
Теорема Штейнера
Момент инерции относительно оси, параллельной центральной и отстоящей от неё на d, равен I = I_c + m·d². Центральный момент — наименьший из всех для параллельных осей. Стержень длиной l вокруг конца: I = m·l²/12 + m·(l/2)² = m·l²/3. Диск вокруг оси на ободе: 3·m·R²/2. Шар вокруг касательной: 7·m·R²/5. Для системы тел моменты складываются: I = Σ (I_c,i + mᵢ·dᵢ²).
Плоская пластина сложной формы
Для однородной тонкой пластины из простых фигур (с отверстиями — отрицательные площади) центр тяжести и осевые моменты площади берутся из того же расчёта, что и в калькуляторе центра тяжести. Момент инерции массы относительно оси ⟂ пластине через центр тяжести равен J_C = σ·(I_x + I_y), где σ = m / A — поверхностная плотность. Относительно другой параллельной оси — по Штейнеру.
Вращательная динамика
Колесо-обруч массой 2 кг и радиусом 0,5 м имеет I = 0,5 кг·м²; моменту 3 Н·м соответствует ε = M/I = 6 рад/с². Скатывающееся без проскальзывания тело ускоряется тем слабее, чем больше I/(m·R²): шар 2/5, цилиндр 1/2, обруч 1.