Решает уравнение M·x'' + b·x' + c·x = F₀·sin Ωt для пружинного и математического маятника, физического маятника и последовательного RLC-контура. Находит частоту, период, затухание, амплитуду и сдвиг фаз вынужденных колебаний, резонанс, закон движения x(t) и амплитудно-частотную характеристику.
Уравнение колебаний
Линейная система с одной степенью свободы описывается уравнением M·x'' + b·x' + c·x = F₀·sin Ωt: M — инерция (масса, момент инерции, индуктивность), b — сопротивление, c — жёсткость (для контура 1/C), F₀ и Ω — амплитуда и частота возмущения. Делением на M оно приводится к виду x'' + 2n·x' + ω₀²·x = h·sin Ωt, где ω₀ = √(c/M) — собственная частота, n = b/(2M) — коэффициент затухания, h = F₀/M.
Свободные колебания
Без затухания и силы x = x₀·cos ω₀t + (v₀/ω₀)·sin ω₀t, амплитуда A = √(x₀² + (v₀/ω₀)²), период T = 2π/ω₀. Для пружины ω₀ = √(c/m), для математического маятника ω₀ = √(g/l), для контура ω₀ = 1/√(LC).
Затухание
При n < ω₀ движение затухающее: x = e^(−nt)(C₁·cos ω_d t + C₂·sin ω_d t), ω_d = √(ω₀² − n²). Логарифмический декремент δ = n·T_d равен логарифму отношения соседних размахов. При n = ω₀ (критическое затухание) и n > ω₀ движение апериодическое.
Вынужденные колебания и резонанс
После затухания переходного процесса остаются колебания с частотой силы x = B·sin(Ωt − ε), амплитуда B = h/√((ω₀² − Ω²)² + 4n²Ω²). Максимум достигается на частоте Ω = √(ω₀² − 2n²), при малом затухании близкой к ω₀. Без затухания при Ω = ω₀ амплитуда растёт линейно — это резонанс.
Амплитудно-частотная характеристика
Коэффициент динамичности μ = B·ω₀²/h зависит только от Ω/ω₀ и ζ = n/ω₀. При Ω → 0 он равен 1, при Ω = ω₀ равен 1/(2ζ), при Ω ≫ ω₀ стремится к нулю.
Пример
Груз 2 кг на пружине 50 Н/м, b = 4 Н·с/м, сила 10·sin 4t Н. Получаем ω₀ = 5 рад/с, T₀ = 1,257 с, n = 1 1/с, ζ = 0,2, ω_d = 4,899 рад/с, амплитуда вынужденных колебаний B = 0,415 м, сдвиг фаз 41,6°, μ = 2,08. Максимум амплитуды 0,510 м на частоте Ω = 4,80 рад/с.
Частые вопросы
Как найти частоту и период свободных колебаний?
Собственная частота ω₀ = √(c/M) в радианах в секунду, период T = 2π/ω₀, частота f = ω₀/(2π) в герцах. Для груза на пружине ω₀ = √(c/m), для малых колебаний математического маятника ω₀ = √(g/l), для контура ω₀ = 1/√(L·C). Калькулятор выводит все три величины.
Чем отличаются затухающие и апериодические колебания?
Если n < ω₀, система колеблется с убывающей амплитудой и условным периодом T_d = 2π/√(ω₀² − n²). При n ≥ ω₀ колебаний нет: тело плавно возвращается к равновесию, самый быстрый возврат без перерегулирования соответствует критическому затуханию n = ω₀.
Что такое логарифмический декремент?
Натуральный логарифм отношения двух последовательных максимумов колебаний: δ = n·T_d. По нему экспериментально находят затухание: n = δ/T_d, b = 2M·n. Добротность Q = ω₀/(2n) показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе больше статического отклонения.
Что происходит при резонансе?
Когда частота вынуждающей силы приближается к собственной, амплитуда резко возрастает. При наличии затухания она ограничена величиной около h/(2n·ω₀) и достигает максимума на Ω = √(ω₀² − 2n²). Без затухания амплитуда растёт линейно со временем, теоретически неограниченно.
Как применять результат к маятнику и контуру?
Выберите нужную модель: параметры автоматически сводятся к эквивалентным M, b, c, F₀. Для математического маятника M = m·l², c = m·g·l, для контура M = L, b = R, c = 1/C, а роль координаты играет заряд q. Углы вводятся в градусах, формулы линейные, то есть верны при малых углах.