Приведение системы сил к простейшему виду: главный вектор, главный момент, винт
Введите силы с точками приложения и пары сил. Калькулятор найдёт главный вектор и главный момент относительно центра приведения, инварианты, определит простейший вид системы — равнодействующую, пару сил или динамический винт — и центральную ось.
Приведение произвольной системы сил
Любую систему сил можно заменить эквивалентной: одной силой, равной главному вектору R = ΣFᵢ, приложенной в выбранном центре O, и парой с моментом, равным главному моменту M_O = Σ(rᵢ × Fᵢ) + ΣMⱼ. Главный вектор не зависит от центра, а главный момент при переносе центра в точку O' меняется на (O − O') × R.
Инварианты
Не меняются при смене центра два числа: I₁ = R² и I₂ = R·M_O. Поэтому проекция главного момента на направление R одинакова для всех центров, а наименьший по модулю главный момент равен M_min = (I₂/R²)·R.
Какой простейший вид возможен
Если R = 0 и M_O = 0, система уравновешена. Если R = 0, а M_O ≠ 0, она эквивалентна паре сил. При R ≠ 0 и I₂ = 0 (это всегда так для плоской системы, сходящихся и параллельных сил) система сводится к равнодействующей. При R ≠ 0 и I₂ ≠ 0 упростить дальше нельзя — получается динамический винт: сила R и пара, параллельная R. Отношение p = I₂/R² называют параметром винта.
Центральная ось
Прямая, на которой главный момент параллелен R, называется центральной осью. Она проходит через точку r₀ = (R × M_O)/R² параллельно R. Для равнодействующей это её линия действия, для винта — ось, вдоль которой действует сила и пара.
Пример
Сила 5 вдоль оси x в начале координат и сила 5 вдоль оси y в точке (0; 0; 3). Главный вектор R = (5; 5; 0), M_O = (−15; 0; 0), I₂ = −75, параметр винта p = −1,5. Центральная ось проходит через (0; 0; 1,5) параллельно R, момент на ней M_min = (−7,5; −7,5; 0). Проверка: r₀ × R + M_min = (−7,5; 7,5; 0) + (−7,5; −7,5; 0) = (−15; 0; 0) = M_O.
Частые вопросы
Что такое главный вектор и главный момент?
Главный вектор R — геометрическая сумма всех сил, он одинаков для любого центра приведения. Главный момент M_O — сумма моментов сил относительно центра O плюс моменты пар. При смене центра он меняется на R × (O − O'), поэтому его принято приводить с указанием центра.
Когда система приводится к равнодействующей?
Когда R ≠ 0 и R·M_O = 0, то есть главный момент перпендикулярен главному вектору. Для плоской системы сил, для сходящихся и параллельных сил это выполняется всегда, поэтому там никакого винта не бывает.
Что такое динамический винт?
Это сила R вместе с парой, плоскость которой перпендикулярна R. Такая система не заменяется одной силой. Параметр винта p = I₂/R², момент пары M_min = p·R. Знак p определяет правый или левый винт.
Как найти уравнение центральной оси?
Ближайшая к центру O точка оси r₀ = (R × M_O)/R², направление совпадает с R. Параметрическое уравнение r = r₀ + λ·R/∣R∣. Для плоской системы удобнее уравнение линии действия равнодействующей Ry·x − Rx·y = M_Oz.
Как задать пару сил?
Вектором момента, перпендикулярным плоскости пары: направление по правилу правого винта, модуль — сила на плечо. В плоской задаче достаточно Mz, он положителен для вращения против часовой стрелки. Пару можно задать и двумя равными противоположными силами в разных точках.