Введите число испытаний n, вероятность успеха p и k — калькулятор найдёт вероятность по формуле Бернулли, вероятность «хотя бы один», наивероятнейшее число, M(X) и D(X) и покажет решение по шагам. Для больших n есть приближения Пуассона и Муавра–Лапласа с сравнением с точным значением.
Формула Бернулли
Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с одной и той же вероятностью p (а не наступает с вероятностью q = 1 − p), то вероятность того, что A наступит ровно k раз, равна Pₙ(k) = Cₙᵏ·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ, где Cₙᵏ = n! / (k!·(n − k)!). Число успехов X имеет биномиальное распределение: M(X) = np, D(X) = npq.
Что ещё считают в такой задаче
- Не менее k раз: P(X ≥ k) = Pₙ(k) + … + Pₙ(n) = 1 − P(X ≤ k − 1).
- Хотя бы один раз: P(X ≥ 1) = 1 − qⁿ.
- Наивероятнейшее число k₀: np − q ≤ k₀ ≤ np + p; если np − q целое, таких чисел два.
Большие n
Когда n велико, считать C(n, k) вручную неудобно. Если p мало, а np не превышает 10, используют формулу Пуассона Pₙ(k) ≈ λᵏ·e^(−λ) / k!, где λ = np. Если npq не меньше 10, работают теоремы Муавра–Лапласа: локальная Pₙ(k) ≈ φ(x) / √(npq), x = (k − np) / √(npq), и интегральная P(k₁ ≤ X ≤ k₂) ≈ Φ(x₂) − Φ(x₁), где Φ — функция Лапласа (Φ(0) = 0, Φ(x) нечётная, Φ(∞) = 0,5).
Частые вопросы
Когда применяется формула Бернулли?
Когда проводится n независимых испытаний с двумя исходами (успех и неудача) и вероятность успеха p одна и та же в каждом испытании. Тогда вероятность ровно k успехов равна Cₙᵏ·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ.
Как найти вероятность «не менее k» и «хотя бы один»?
«Не менее k» — это сумма Pₙ(k) + … + Pₙ(n), или удобнее 1 − P(X ≤ k − 1). «Хотя бы один» — частный случай: 1 − qⁿ, где q = 1 − p.
Как найти наивероятнейшее число успехов?
Это целое число k₀ из отрезка np − q ≤ k₀ ≤ np + p. Длина отрезка равна 1, поэтому обычно подходит одно число; если np − q целое, наивероятнейших чисел два (np − q и np + p).
Когда использовать формулу Пуассона, а когда теоремы Муавра–Лапласа?
Пуассон — когда n велико, а p мало (редкие события), и λ = np не больше 10. Муавр–Лаплас — когда n велико, а p не слишком близко к 0 и 1, так что npq не меньше 10. Калькулятор покажет точное значение рядом с приближённым, чтобы вы видели погрешность.
Чем отличаются функции φ(x) и Φ(x)?
φ(x) = e^(−x²/2) / √(2π) — плотность стандартного нормального закона (чётная функция), она нужна в локальной теореме. Φ(x) — функция Лапласа, интеграл от 0 до x от φ (нечётная, Φ(∞) = 0,5), она нужна в интегральной теореме. Значения Φ в некоторых учебниках считают от −∞, поэтому сверяйте таблицу.