Бросок под углом к горизонту
Движение тела, брошенного под углом α к горизонту со скоростью v₀, раскладывают на два независимых: равномерное по горизонтали со скоростью v₀x = v₀·cos α и равноускоренное по вертикали с ускорением −g и начальной скоростью v₀y = v₀·sin α. Координаты: x = v₀x·t, y = h₀ + v₀y·t − g·t² / 2. Исключив время, получаем траекторию — параболу y = h₀ + x·tg α − g·x² / (2·v₀²·cos²α).
Формулы для броска с уровня земли (h₀ = 0)
| Величина | Формула |
|---|---|
| Время подъёма | t₁ = v₀·sin α / g |
| Время полёта | t = 2·v₀·sin α / g (подъём равен падению) |
| Наибольшая высота | H = v₀²·sin²α / (2g) |
| Дальность | L = v₀²·sin 2α / g |
| Скорость при падении | равна начальной по модулю, угол падения равен углу броска |
Дальность наибольшая при α = 45°: L = v₀²/g. Углы α и 90° − α дают одну и ту же дальность, но разную высоту и время полёта (настильная и навесная траектория).
Горизонтальный бросок
При α = 0 с высоты h: время падения t = √(2h / g) не зависит от v₀, дальность L = v₀·t, скорость при падении v = √(v₀² + 2gh). Например, с 20 м при g = 10 и v₀ = 15 м/с: t = 2 с, L = 30 м, v = 25 м/с.
Бросок с высоты
Если h₀ > 0, время полёта — положительный корень уравнения h₀ + v₀y·t − g·t²/2 = 0. Скорость при падении по закону сохранения энергии v = √(v₀² + 2g·h₀), от угла не зависит. Наибольшая дальность достигается при угле меньше 45°: tg α = v₀ / √(v₀² + 2g·h₀).
Сопротивление воздуха
В воздухе сила сопротивления шара F = ½·ρ·C·S·v², ускорение торможения k·v², k = ρ·C·S / (2m). Решения в виде формул нет, траекторию считают численно. Результат: дальность и высота меньше, подъём короче падения, угол падения круче, наибольшая дальность достигается при угле меньше 45°. У лёгкого мяча эффект большой, у тяжёлого ядра малый. Калькулятор считает полёт шара методом Рунге—Кутты и сравнивает его с полётом в вакууме.