Корреляция и регрессия онлайн: коэффициент Пирсона r, прямая y = a + bx, значимость

Вставьте два столбца данных (x и y) — калькулятор найдёт коэффициент корреляции Пирсона и оценит силу связи по шкале Чеддока, проверит его значимость по критерию Стьюдента, построит уравнения регрессии y на x и x на y, сделает прогноз и покажет корреляционное поле с прямой. Решение подробное, как в методичке.

Что показывает корреляция

Парная корреляция измеряет, насколько тесно две величины x и y связаны линейно. Коэффициент корреляции Пирсона r = cov(x, y)/(σx·σy) лежит в пределах от −1 до 1: знак показывает направление связи (прямая или обратная), модуль — её тесноту. Корреляция не доказывает причинность: две величины могут расти вместе из-за третьей.

Шкала Чеддока

∣r∣ меньше 0,1 — связи практически нет;
0,1–0,3 — слабая;
0,3–0,5 — умеренная;
0,5–0,7 — заметная;
0,7–0,9 — высокая;
0,9–0,99 — весьма высокая.

Регрессия

Уравнение регрессии y на x: y = a + b·x, где b = cov(x, y)/σx², a = ȳ − b·x̄. Это прямая, которая даёт наименьшую сумму квадратов отклонений по вертикали. Регрессия x на y — другая прямая: x = a′ + b′·y, причём b·b′ = r². Прямые совпадают только при ∣r∣ = 1. Коэффициент детерминации r² показывает долю вариации y, объяснённую линейной связью с x.

Значимость коэффициента

Статистика t = r·√(n − 2)/√(1 − r²) при верной гипотезе «связи нет» имеет распределение Стьюдента с n − 2 степенями свободы. Если ∣t∣ больше критического значения для выбранного уровня α (например, 2,228 при α = 0,05 и 10 степенях свободы), коэффициент значим. Квантили Стьюдента считаются в калькуляторе самостоятельно, таблица не нужна.

Ошибка аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации Ā = (1/n)·Σ∣(y − ŷ)/y∣·100% показывает, на сколько процентов в среднем расчётные значения отличаются от фактических. Приемлемой считают ошибку не более 8–10%.

Пример

x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5. Средние: x̄ = 3, ȳ = 4, σx² = 2, σy² = 1,2, cov = 1,2. Тогда r = 1,2/(√2·√1,2) = 0,7746, r² = 0,6, регрессия y = 2,2 + 0,6·x. Статистика t = 0,7746·√3/√0,4 = 2,121, а t при α = 0,05 и k = 3 равно 3,182. Так как 2,121 меньше 3,182, на пяти точках связь статистически незначима, хотя по шкале Чеддока она высокая: данных слишком мало.

Если нужны другие функции приближения (парабола, степенная, экспонента), используйте калькулятор метода наименьших квадратов.

Частые вопросы

Как посчитать коэффициент корреляции в Excel и вручную?

В Excel это функция КОРРЕЛ(массив1; массив2). Вручную: найдите средние x̄, ȳ, затем r = (mean(xy) − x̄·ȳ)/(σx·σy). Здесь можно вставить два столбца из Excel и получить тот же результат с таблицей расчёта и подстановкой чисел.

Как понять, что коэффициент корреляции значим?

Вычислите t = r·√(n − 2)/√(1 − r²) и сравните ∣t∣ с критическим значением Стьюдента при выбранном α и n − 2 степенях свободы. Если ∣t∣ больше критического, нулевая гипотеза об отсутствии связи отвергается. Калькулятор делает это сам и показывает p-значение.

Чем регрессия y на x отличается от регрессии x на y?

Первая минимизирует вертикальные отклонения и нужна, чтобы предсказывать y по x. Вторая минимизирует горизонтальные и предсказывает x по y. Это разные прямые, они совпадают только при r = ±1; произведение их угловых коэффициентов равно r².

Что значит высокая корреляция, но незначимая?

При малом числе наблюдений даже большой r может получиться случайно. Критерий Стьюдента учитывает объём выборки: для пяти точек нужен ∣r∣ больше 0,878 при α = 0,05. Увеличьте выборку или не делайте выводов о связи.

Можно ли делать прогноз за пределами данных?

Формально уравнение даст число для любого x, но вне диапазона наблюдений линейность не гарантирована, поэтому такой прогноз ненадёжен. Калькулятор предупреждает, когда x выходит за диапазон данных.